1 引言

       随着自动控制技术和微型计算机的迅速发展，各种自动控制系统的位置精度的重要性日益突出。在这种情况下，传统的由旋转电机和转换机构组成的直线运动装置已远远不能满足现代控制系统的要求。永磁直线电机(PMLM)无需任何开关机构即可直接将电能转化为直线运动。因此，越来越多的研究者致力于PMLM的研究和开发。

      与传统的直线运动装置相比，PMLM在控制系统中具有速度更快、推力更大、精度更高等优点。PMLM的主要控制目标是设计一个能够跟踪参考位置轨迹的控制器。然而，由于各种参数不确定性、非线性动态和诸如间隙和摩擦力等干扰，要获得优异的性能和有效性是一项具有挑战性的工作。

      在过去的几十年里，为了解决PMLM的控制问题，人们对PMLM进行了大量的研究，并提出了许多控制策略来提高典型的精度定位要求。经典的比例积分导数(PID)控制由于鲁棒性较弱，在干扰的影响下往往不能获得优异的控制性能。虽然SM控制在PMLM控制中表现出许多优点，但在实际控制设计中仍然需要参数不确定性和外部干扰的信息。由于神经网络对未知函数具有较好的逼近性，设计了自适应SM控制方案来估计实际控制系统的不确定性信息，其中采用径向基函数神经网络(RBFNN)自适应学习不确定性界。由于RBFNN可以近似任意非线性函数，因此可以适当地估计未知的系统动力学，从而保证了较高的控制精度。

      值得注意的是，在实现永磁直线直线电机的同步控制时，系统参数是明确要求的，用于等效控制的设计，这在大多数实际情况下往往难以获得甚至不可能获得。因此，在本文中，我们将PMLM视为一个部分已知的系统，其中有一个未知的部分称为集中不确定性，并通过一种新的单隐层前馈神经网络(SLFN)估计FNTSM控制的等效控制，即Lyapunov意义上的极限学习机(ELM)。由于ELM比需要近似调整输入权值和隐层偏差的传统SLFN具有更快的学习速度，因此ELM被广泛应用于许多控制系统中。请注意，拟议的ELM具有与用于模式分类的传统SLFN相似的结构;然而，ELM是为全局控制而设计的，这意味着由ELM估计的等效控制从闭环系统全局稳定性的角度在Lyapunov意义上自适应更新。

     本文的主要贡献如下：

     (1)证明了PMLM可以进一步由标称模型和未知部分表示，从而可以开发FNTSM控制以保证良好的控制性能。

     (2)利用ELM精确估计了FNTSM控制的等效控制，保证了闭环稳定性，减轻了系统动力学信息的依赖性。

     (3)由于等效控制采用了FNTSM和ELM估计量，既保证了有限时间收敛性，又保证了较强的控制鲁棒性。

      本文的其余部分组织如下。第2节给出了部分动力学已知的PMLM的植物模型，并给出了扰动的表达式。第三节介绍了ELM的基本理论。在第4节中，给出了基于ELM等效控制的FNTSM控制策略，并基于Lyapunov理论给出了详细的稳定性证明。第5节给出了与SM控制和PID控制的仿真结果对比，验证了其优良的跟踪性能。最后，第六节给出结论。

2 植物建模

2.1 PMLM模型

      一般来说，PMLM的动力学可以用二阶系统来描述。在本文中，我们不仅忽略了负载和小干扰，而且由于电枢电感相对于电阻的值很小，所以我们忽略了电枢电感。一个简单的PMLM动态可以表示为[28]：

       式中，x为电机位置，kf为力常数，ke为反电动势(EMF)， R为电阻，m为运动质量，u为控制信号，d为包含摩擦和位置相关齿槽力的集总扰动。

      可以很容易地得到PMLM的状态变量描述：

      注意，将参考信号表示为Xr，可以合理地假设Xr及其一阶Xr和二阶Xr是连续的，因此是有界的。然后，本文的控制目标是设计一个控制器，使参考位置轨迹在存在参数不确定性和负载干扰的情况下能够很好地跟踪。

2.2 扰动的表达式

       扰动包括摩擦力和位置相关的齿槽力。

      式中，Ai为幅值，Xi为与状态相关的齿槽力频率，Ui为相角。

     假设1  假设扰动F及F.其导数是有界的，

     备注1  虽然PMLM的扰动可以用方程表示。(5)和(7)，它们在实际情况中总是不可用的。如果要对它们进行补偿，则应采用适当的传感器或观测器。在本文中，我们使用ELM估计器来估计控制器中的等效控制分量，从而减轻了对干扰信息的依赖。

3 ELM描述

       ELM是一种新的针对单隐层前馈神经网络(SLFNs)的学习算法，它不仅可以随机分配输入权值和隐层偏差，而且可以解析确定SLFNs的输出权值。在实现ELM在闭环控制中的应用之前，本节将首先介绍统一SLFN的数学描述，然后全面介绍ELM的原理。

3.1 单隐层前馈神经网络

3.2 ELM

      等于最小化成本函数

      从方程中可以看出。(12)和(13)在最小化过程中，传统的学习算法需要调整SLFNs的所有参数，导致学习速度慢，计算量大。

      为了克服这些缺点，提出了ELM，其中隐藏层偏差不一定要调整，并且通过实现ELM在学习开始时为这些参数分配随机值，隐藏层输出矩阵H实际上可以保持不变。由于ELM学习算法的输入权值是固定的，隐含层偏差是固定的，因此式(12)可以改写为:

     备注2  需要注意的是，传统的ELM算法有以下显著特点:

     (1)SLFN的输入权值和隐层偏差都是随机选择的。

     (2)利用隐层输出矩阵的广义逆解析确定输出权值。

     (3)由于ELM是批量学习的，其学习速度比反向传播的学习速度快得多。

     虽然本文为闭环控制设计的ELM与模式分类的ELM具有相似的结构，但采用ELM来实现闭环系统的全局控制，即通过Lyapunov意义上的ELM估计量自适应调整等效控制，以保证系统的全局稳定性。这实际上是基于elm的滑模控制的PMLM系统最独特的优点之一。

4 控制器设计

      在本节中，提出了基于ELM等效控制的FNTSM控制器，并详细描述了利用Lyapunov理论证明的闭环稳定性。

      FNTSM控制可以保证非线性系统的快速高精度跟踪性能。然而，在设计FNTSM等效控制时，很难获得系统动力学的精确值。为了克服这一困难，利用ELM估计器对所提控制器的等效控制进行估计。

首先，将误差定义为:

      由于a和b是部分已知的，而F是不可用的，所以FNTSMCU*eq不能在实际情况下实现。为了避免这个问题，使用ELM估计器来近似等效控制。

     其中是∈(z)近似误差，它可以随着隐藏节点数量的增加而任意减小。因此，可以假设:

     是一个常数。

     证明：定义，选择Lyapunov函数

    V的时间导数变成

      其中∣∈(z)∣∠∈,p+u1-∈＞0,A＞A1

      若e2 =0，将(24)代入(17)，

     由式(33)和式(34)可知，e2 = 0在到达相中不是吸引子。

     很明显，滑动变量s可以在有限时间内到达滑模面s = 0。因此，PMLM的误差动力学将在有限时间内收敛于滑模表面上的零。

     备注3  由式(25)可知，输出权值的自适应律是一个基于Lyapunov理论的在线学习过程，保证了闭环的稳定性。很明显，本文提出的训练数据逐一到达时的自适应规律与传统的ELM不同，后者的输出权值调整规则是训练数据同时处理的离线学习过程。然而，输入权值和隐层偏差可以像原始ELM一样随机分配，这保留了ELM的优点。另外，考虑等效控制U*eq包含XrX2e1e2，将ELM的输入向量赋值为上述变量的组合是合理的。隐藏N个神经元的ELM结构如图1所示。

     备注4  而传统的滑模控制由于存在线性滑模面，误差动态渐近收敛于平衡点。为了保证快速收敛的特性，本文设计了FNTSM控制，实现了优良的控制性能。然而，对于实际的PMLM系统，由于参数的变化和干扰限制了等效控制的设计，开发了一种ELM估计器来提供Lyapunov意义下等效控制的自适应估计，从而保证闭环控制的全局稳定性。

     备注5  为了获得最佳的控制性能，需要适当地选择控制器的参数。

     (1) ρ的选择应足够大，以抵抗较大的不确定扰动，但过大的值会导致较大的控制幅度。

     (2)选择合适的λ1和λ2值应考虑收敛速度和控制抖振之间的折衷，因为它们的值越大，收敛速度越快，控制抖振越严重。

     (3)参数增益k1、k2和学习率g通常应选择足够大，以应对不确定性，获得更快的学习速度，但应在合理范围内，以保持闭环稳定性。

     (4)理论上，隐层的节点数越大，估计精度越好。然而，隐藏层节点过多会降低估计速度，这可能会限制ELM在实时控制系统中的应用。

     备注6  由于sgum函数的不连续会导致抖振现象，因此将(21)中的sgum函数替换为连续函数sat(s)，以减轻控制信号中的抖振，即

      其中，通常选择正常数，在抖振效应和跟踪精度之间求得一种折衷，从而满足实际要求。

所提出的控制系统的框图如图2所示。建立的基于ELM和FNTSM的PMLM控制方案的性能在随后的部分中通过仿真研究得到验证。

5 仿真结果

      在本节中，通过一系列的仿真研究来验证采用所提出的控制器的PMLM系统的运动跟踪精度。为了进行更全面的分析，还介绍了传统的SM控制和PID控制进行比较。

PMLM参数与扰动的取值如表1所示。由于PMLM的状态方程是由部分已知的动力学组成，因此将式(3)改写为:

     则定义线性滑模曲面为:

    SM控制由下式给出:

     传统的PID控制器设计为

      其中增益kp、ki和kd通过试错法合理选择，以保证闭环系统的稳定性。

      三个控制器的参数如表2所示。ELM的初始参数(w,c)分别在[-1,1]和[0,1]区间内随机选取。选取s型加性激活函数为:

      图3、图4和图5显示了情况1中三个控制器的跟踪配置文件。结果表明，该控制策略的控制性能明显优于传统的SM控制和PID控制。该控制具有达到稳态的最快跟踪响应时间为0.7 s，跟踪误差最小的特点。相比之下，SM控制和PID控制的跟踪响应时间分别为1.4 s和3 s。由于所提出的控制具有较强的鲁棒性和较好的等效控制估计，可以很好地减轻干扰的影响。由于考虑了摩擦力和位置相关齿槽力的干扰，采用同步电机控制后，直线电机的位置存在轻微的抖振，且在PID控制下存在稳态误差。

     对于情况2，三种控制器的仿真结果如图6、7、8所示。可以清楚地看到，与其他两种控制器相比，所提出的控制器也获得了最好的跟踪性能。所提控制与传统的SM控制都能很好地跟踪参考信号，跟踪响应时间分别为0.3 s和0.9 s，如图6a、b和7a、b所示。但由于鲁棒性较弱的限制，如图8a、b所示PID控制的跟踪性能并不理想，稳态误差较大。

      最后，为了评估任意输入权值wi和隐层偏差ci对闭环控制性能的影响，我们在情况1中对所提出的控制应用了不同的随机输入间隔。不同参数随机区间下的性能评价如表3所示。可以清楚地看到，对于不同的随机输入区间，得到的结果相似，因此，所提出的控制器不会受到任意输入权值和隐层偏差的影响。

      所提出的控制器获得了最佳的控制性能，其原因在于:(1)FNTSM控制的滑模面设计良好，与传统的线性滑模面SM控制相比，可以保证更快的收敛速度和更强的鲁棒性。(2)由于系统动力学是部分已知的，干扰总是难以获得，使得滑模控制的等效控制和切换控制的设计在实际应用中变得困难。正是由于ELM的应用，不再需要FNTSM控制的等效控制，而是在Lyapunov意义上进行自适应更新，可以很好地缓解未知动力学的影响，增强闭环控制系统的鲁棒性。

6 结论

      本文提出了一种针对PMLM的FNTSM控制策略，该策略通过ELM算法自适应估计等效控制。该控制不仅能使跟踪误差在有限时间内收敛到平衡点，而且具有较强的鲁棒性。结果表明，在等效控制估计中成功地应用ELM可以减轻系统动力学的依赖性，提高闭环鲁棒性。

      仿真结果验证了所提控制方案的有效性。在未来的工作中，本文开发的控制策略可以很容易地应用于各种动力学部分已知的机电系统，如汽车转向和制动系统，以及压电纳米定位系统。