1.引言

      高扭矩和功率电流比、高效率和鲁棒性使内置式永磁同步电机（IPMSM）在工业应用中得到广泛使用。IPMSM的非线性动态、电气和机械不确定性以及外部负载干扰导致在IPMSM控制应用中使用先进的新方法。

      在这个领域已经采用了多种智能方法。有研究人员提出了一种基于神经网络的PI控制器，考虑了两种著名的控制策略（每安最大转矩或MTPA和磁通削弱或FW），用于IPMSM的速度控制。有人引入了一种基于神经网络的自适应动态面控制器，用于PMSM。也有人提出了一种动态反向传播神经网络控制器，采用Levenburg-Marquardt算法，用于IPMSM的速度控制。此外，模糊逻辑控制器和遗传算法也被用于IPMSM驱动应用。同时有人提出了一种基于模糊逼近的离散时间自适应位置跟踪控制方法，用于IPMSM。此外，国外部分专家还提出了一种基于降阶观测器的自适应模糊跟踪控制器，用于混沌PMSM驱动系统。

      在IPM电机控制中也使用了鲁棒和自适应非线性方法。自适应反步控制器已被用于IPMSM控制。MTPA基于积分反步控制器和自适应高增益观测器的组合已被用于IPMSM的无传感器控制。也提出了一种基于MTPA策略的自适应参数估计器。提出了一种基于Lyapunov的自适应控制器，用于IPMSM的位置控制。我们提出了一种新颖的鲁棒模型参考自适应系统，用于IPMSM的速度估计。此外，还提出了一种基于MTPA的自适应输入输出状态反馈线性化方法，用于无传感器IPMSM控制。

      滑模控制器已广泛用于内永磁同步电机的控制。我们首先采用了输入输出线性化技术来线性化IPMSM模型，然后提出了一种免抖动滑模控制器，以增加控制器对建模误差的鲁棒性。针对IPMSM提出了一种无传感器转矩/磁通滑模控制器。提出了一种基于MTPA的滑模控制器，配合滑模观测器进行转子速度估计。首先设计了一种新的滑模观测器，用于IPMSM的转子速度估计。

      在控制器结构中利用非整数导数和积分会产生所谓的分数阶控制器，从而在控制器设计过程中提供更多的灵活性和性能。文献中已考虑了具有分数阶滑模面的分数阶滑模控制器。在此文中提出了一种用于多输入多输出系统的自适应分数阶滑模控制器，介绍了一种具有分数阶滑动表面的滑模控制器，其中符号函数被替换为模糊逻辑控制器以减少抖动效应。还验证了分数阶滑模表面的性能，用于鲁棒控制线性时不变系统，这些系统受到广泛干扰的影响。分数阶滑模控制器也已用于控制真实的实际系统。已在DC/DC降压变换器中实现了分数阶滑模控制器。也已经使用了分数阶滑模控制器控制PMSM的速度控制。

       据我们所知，分数阶滑模控制器尚未被应用于控制IPMSM驱动系统。本文采用该方法来控制IPMSM驱动系统。考虑到参考速度，采用PI控制器计算转矩参考值，并利用MTPA方法获得基于二轴定子参考电流。采用基于Lyapunov自适应机制的分数阶滑模控制器来达到d-q定子电流对应的参考值。在滑动面中采用分数阶将改善瞬态响应和鲁棒性。仿真结果表明，所提出的方法在定子绕组参数（如电阻和电感）变化时具有良好的控制效果。

2.IPMSM的数学模型

      在转子旋转的(d-q)参考系下，IPMSM的模型可以写成以下形式 [29]

       其中vd和vq是d轴和q轴定子电压，id和iq是d轴和q轴定子电流，Rs是定子电阻，Ld和Lq是d轴和q轴定子电感，ωr是转子角速度，P是极对数，λm是永磁体磁链。

电磁转矩（Te）可用定子电流表示，如下所示：

     其中，J和B分别是转动惯量和粘性摩擦系数，负载转矩用TL表示。

3. 分数阶微积分的主要概念

      利用非整数阶导数和积分作为它们对应的整数阶算子的一般化是分数阶微积分的基础。这导致产生可以更精确地描述实际系统的无限维系统。此外，利用具有更高自由度的分数阶控制器，与普通控制器相比，可以提高系统的性能和灵活性。Riemann-Liouville（R.L）、Grunwald-Letnikov和Caputo定义是文献中介绍的三个流行的分数阶导数定义。根据R.L定义，常数函数的分数阶导数不为零。但是，根据Caputo定义，它为零。这就是为什么Caputo定义在工程应用中得到广泛使用的原因。本文中使用的Caputo定义下函数f(t)的分数阶导数定义如下[20]：

4.所提出的控制方法

      本文提出了一种基于最大转矩电流控制策略的IPMSM速度控制的双环控制器。在第一步中，通过传统的PI控制器和传输函数计算参考转矩。PI控制器参数经过试错调整，以获得良好的命令跟踪和负载扭矩拒绝能力。在第二步中，通过最大安培转矩策略确定两轴定子参考电流。最后，计算两轴定子参考电压，使得两轴定子电流与从MTPA块获取的其参考值之间的差异趋近于零。这是通过使用自适应分数阶滑模控制方法实现的。图1显示了整体控制框图。很明显，内环（电流环）应该比外环（速度环）快得多。所提出的控制方法的细节将在接下来的小节中说明。

                                                           图1. 基于MTPA的IPMSM控制框图

4.1 MTPA策略的基础知识

      在MTPA策略中，通过计算两轴定子参考电流，以实现每安最大扭矩。这意味着

max:        

      如果假定参考转矩（Tref）是常数，则应最小化定子参考电流（isref）。定子参考电流可以根据两轴定子参考电流计算得出，如下所示：

      将公式（9）和（10）结合起来得到以下公式。

       数值求解方程式（12）得到q轴定子参考电流。注意只有给出最小定子参考电流的实数解是可接受的。将得到的q轴定子参考电流代入方程（8）中，得到d轴定子参考电流。

4.2. 针对IPMSM的分数阶滑模控制器设计

      在这个小节中，我们根据分数阶滑模控制方法来获得两轴定子电压。我们定义两轴定子电流与其对应的从MPTA方法中获取的参考值之间的差异为ed和eq，即

     将方程(1)和(13)结合起来得到：

      为了将两轴定子电流误差趋于零，定义以下分数阶滑模面：

     其中，分数阶αd和αq属于(0,1]。此外，cd和cq是任意的正常数。通过滑动面（15），ed和eq趋向于零。增加cd和cq的值可以分别减少ed和eq的稳定时间。现在，应适当计算两个轴的定子电压（vd和vq）以将状态轨迹驱动到（15）中的滑动面，或应满足以下滑动面达到条件。

     定理1给出了确保(16)式中达到滑模面的适当vd和vq之间的关系。

      证明：根据公式(15)，我们有

      显然，考虑到kd和kq取正值，表达式（22）的右侧为负。因此，滑模面到达条件（16）被满足。这完成了证明。

      这意味着定子电流id和iq会通过滑动面（15）趋向于它们从（12）和（8）中得到的参考值ids和iqs。

4.3. 自适应分数阶滑模控制器设计

      电气参数Rs、Ld和Lq可能会随时间缓慢变化。因此，应建立自适应控制策略来补偿这些参数的不确定性。为了实现这一目标，需要改变两轴定子电压，使其为：

      其中，θ1、θ2和θ3是可调控参数，应根据适当的自适应机制进行调整，该机制通过以下定理提出。

      定理2 利用（23）和（24）式的定子电压，结合以下自适应机制，确保状态轨迹趋于（15）式定义的滑模面，并在其中保持，考虑电气参数的不确定性。

           其中γ是自适应增益参数。

           证明。考虑以下Lyapunov候选函数：

       如果采用自适应机制（25），则关系式（30）变为：

      根据（31），可以明显看出是一个负半定函数。这意味着sd、sq、θ1、θ2和θ3是有界的。然而，根据Barbalat引理[30]，。因此，sd和sq趋近于零。注意，控制参数θ1、θ2和θ3不一定会收敛到它们的真实值。因此，状态轨迹在有限时间内到达滑动表面。这证明完成。

            图2. 自适应分数阶滑模控制器的控制信号（为了减小抖动现象，可以用以下饱和函数替代符号函数（19））

                                         图3. 自适应机制的详细框图

      图2显示了与控制信号（关系式（23）和（24））相对应的块图。自适应机制的详细块图如图3所示（关系式25）。为了实现分数阶算子，使用了Non-integer MATLAB工具箱[31]。在该工具箱中，分数阶算子用高阶整数传递函数来近似。

优化分数阶参数αd、αq和滑模增益kd、kq的最优值，使得以下性能指标（归一化积分绝对误差）最小化。

其中T是定子电流误差的暂态响应的稳定时间。

       其中σ是边界层的宽度。增加σ可能会导致稳态误差，而减小σ可能会增加抖动效应。

为了展示所提出的控制方法的有效性，下一节将介绍一些数值模拟。

5.仿真结果

      在本节中，验证了所提出方法的性能。考虑一个参数如表1所示的IPMSM。将自适应分数阶滑模控制器应用于该电机。从优化方法中获得的控制器参数如表2所示。假定两轴定子电流和自适应参数的初始条件均为零。采样周期考虑为0.0001。

                                                              表1

                                                       IPMSM参数

                                                                  表2

                                                            控制器参数

       图4显示了在施加满载扭矩(TL=13.26 N·M)时的IPMSM       角速度和速度误差。如图所示，负载扭矩效应被消除，电机能够跟踪参考速度（ωref=1800 RPM）。图5显示了100%负载存在时的两轴定子电流及其参考值。定子电流快速跟踪其参考值（从MTPA块获得）。图6显示了100%负载存在时的两轴定子电压。图7和图8分别显示了当将额定负载扭矩的100％，75％，50％和25％施加到电机轴上时，获得的IPMSM角速度和电磁扭矩。如图7所示，负载扭矩效应被迅速消除。当在10秒内施加100％负载时，三相定子电流如图9所示。在图10中显示了静态和转动参考框架（包括参考和实际框架）（iα，iαs，iβ，iβs）中的两轴定子电流（100％负载）。

                                  图4. 在施加100%负载时，IPMSM角速度和速度误差

                                           图5. 两轴定子电流(id;iq)及其参考值(ids;iqs)

                                    图6. 施加100%负载时，两轴定子电压vd和vq

                         图7. 在施加100％、75％、50％和25％负载时，IPMSM角速度

                         图8. 在施加100％，75％，50％和25％负载时，IPMSM电矩

                                    图9. 施加100%负载时的三相定子电流

                             Fig. 10. 固定旋转参考框架下的两轴定子电流

为验证所提出方法的鲁棒性能，将所有电气和机械参数改变±30%的数值。图11至图15分别展示了在100%负载下，Ld、Lq、Rs、J和B改变±30%时所得到的两轴定子电流误差。这些图表证明了所提出的分数阶控制方法对电气和机械参数不确定性的鲁棒性。

                                    Fig. 11. Ld ±30%变化时的两轴定子电流误差ed和eq

                              Fig. 12. Lq ±30%变化时的两轴定子电流误差ed和eq

                                   Fig. 13. Rs ±30%变化时的两轴定子电流误差ed和eq

                                   Fig. 14. J ±30%变化时的两轴定子电流误差ed和eq

                           Fig. 15. B ±30%变化时的两轴定子电流误差ed和eq

       IPMSM在Ld、Lq、Rs、J和B发生±30%变化时所得到的角速度和电矩分别在图16至图20中展示（在100%载荷下）。这些图表展示了所提出方法的鲁棒性。

                            Fig. 16. 在Ld ±30%变化时时，电机角速度和电力转矩

                            Fig. 17. 在Lq ±30%变化时，电机角速度和电力转矩

                                       Fig. 18. 在Rs±30%变化时，电机角速度和电力转矩

                            Fig. 19. 在J±30%变化时，电机角速度和电力转矩

                                    Fig. 20. 在B±30%变化时，电机角速度和电力转矩

                                            Fig. 21. 整数阶和分数阶控制器的d轴定子电流误差ed

                             Fig. 22. 整数阶和分数阶控制器的q轴定子电流误差eq

       现在，将整数阶滑模控制器的结果与相应的分数阶滑模控制器的结果进行比较。图21和图22分别比较了最优分数阶和普通滑模控制器所得到的d轴和q轴定子电流误差。

       从图21和图22（考虑到稳态和瞬态响应）可以明显看出分数阶控制器相对于整数阶控制器的优越性。

      此外，由公式（32）得到的性能指标为J = 0.0104和J = 0.0043，分别对应于整数阶控制器和分数阶控制器。这些性能指标显示出分数阶控制器的优势。

6 结论

       本文提出了一种基于MTPA的双环自适应分数阶滑模控制方法，用于控制IPMSM的速度和定子电流。采用基于Lyapunov的自适应机制来保证在IPMSM电气参数不确定性下的闭环系统稳定性。具有分数阶积分的分数阶滑模控制器在滑动面上具有比普通滑模控制器更优越的性能。通过优化方法获得了分数阶的最优值。经过验证，具有最优分数阶的所提出的控制器对电气参数不确定性和外部负载扭矩具有高度鲁棒性。未来的研究需要使所提出的方法对机械参数的不确定性具有鲁棒性。