摘要：通过自共振线圈，在强耦合状态下，我们在实验中展示了高效的非辐射式能量传输，其距离达到了线圈半径的8倍，能够在超过2米的距离范围内以约40％的效率传输60瓦的功率。我们提出了一个定量模型来描述功率传输，该模型与实验结果符合率高达95％。我们讨论了该系统的实际适用性，并提出了进一步研究的方向。

关键词：自共振线圈；强耦合；非辐射式能量传输

0 引言

      在20世纪初，电力输电网之前，尼古拉·特斯拉致力于设计无线输电方案。然而，典型的实现方式（例如特斯拉线圈）涉及不可避免地产生较大的电场。过去十年中，自主电子设备的使用增加（如笔记本电脑、手机、机器人、PDA等），因此对于无线输电的兴趣重新浮现。虽然辐射传输完全适用于信息传输，但是对于功率传输应用，存在一些困难：如果辐射是全向的，则功率传输效率非常低，而单向辐射则需要一个不间断的视线和复杂的跟踪机制。最近一篇理论论文详细分析了通过非辐射场尾部耦合的共振物体进行中程能量传输的可行性。从理论上讲，具有相同共振频率的两个共振物体倾向于高效交换能量，同时在离共振物体上少量消耗能量。在耦合共振系统的情况下（例如声学、电磁、磁性、核），通常有一个一般的“强耦合”工作状态。如果在给定系统中可以在该区域内工作，预计能量传输将非常高效。以这种方式实现的中程功率传输可以几乎是全向的和高效的，无论周围空间的几何形状如何，并且对环境对象的干扰和损失较低。

      上述考虑是与共振的物理性质无关的。在这里，我们重点研究一种特定的物理实现：磁共振。磁共振对于日常应用尤其合适，因为大多数常见材料不与磁场相互作用，因此与环境物体的相互作用被进一步抑制。通过在兆赫频率下探索非辐射（近场）磁共振感应，我们能够确定两个耦合磁共振系统的强耦合状态。尽管这种功率传输类似于通常的磁感应；然而通常的非共振感应对于中距离应用非常低效。

      正式化的概述是有效的中程功率传输发生在描述相互强耦合的共振物体参数空间的特定区域内。使用耦合模理论描述这个物理系统，我们得到以下一组线性方程：

      在这里的指数表示不同的共振物体。变量am(t)的定义是物体m中所含能量的平方，ωm是该单独物体的共振角频率，Γm是其本征衰减速率（例如由于吸收和辐射损失引起的）。在这个框架下，具有参数ω0和Γ0的未耦合和非驱动振荡器将随时间演化为exp(iω0t - Γ0t)。κmn = κnm是下标所示的共振物体之间的耦合系数，Fm(t)是驱动项。

      我们限制讨论到有两个共振物体的情况，分别称为源和装置。源在外部以恒定频率驱动，而两个物体具有一个耦合系数κ。通过连接到装置并作为电路电阻的负载从装置中提取功率，并产生一个附加项ΓW，它的效果是导致未负载装置物体的衰减速率ΓD增加。根据公式1最大化传输的效率η对于负载ΓW的处理相当于解决一个阻抗匹配问题。发现该方案在源和装置共振时效果最佳，此时效率非常高。

      当ΓW/ΓD = [1 + (κ2/ΓSΓD)]^1/2时，效率最大化。很容易证明高效能传输的关键在于具有κ2/ΓSΓD > 1的强耦合状态。这通常被称为强耦合区域。共振在这种功率传输机制中起着至关重要的作用，因为相对于感应耦合非共振物体的情况，效率可以提高约ω2/ΓD2(~106对于典型参数)。

1 自共振线圈的理论模型

      我们的实验方案由两个自共振线圈组成。一个线圈（源线圈）与振荡电路通过感应耦合相连；另一个线圈（装置线圈）则与电阻性负载通过感应耦合相连。自共振线圈依靠分布式电感和分布式电容之间的相互作用来实现共振。线圈由总长度为l、横截面半径为a的导电线制成，绕成n圈，半径为r，高度为h的螺旋形。我们发现，在有限螺旋线圈的情况下，文献中没有精确的解决方案，即使是在无限长线圈的情况下，其解决方案也依赖于我们系统不足的假设。然而，我们发现下面简单的准静态模型与实验结果具有良好的一致性（误差约为5%）。

      我们首先观察到，电流必须在线圈的两端为零，我们有理有据地猜测，线圈的谐振模式可以很好地近似为沿导电线长度的正弦电流分布。我们对最低模式感兴趣，因此如果我们用参数化坐标s表示导体的长度，使其从-l/2到+l/2，那么时间相关的电流分布形式为I0 cos(πs/l) exp(iωt)。由于电荷守恒方程，线性电荷密度分布的形式为λ0cos(πs/l)exp(iωt)，因此一半线圈（在其轴线垂直切割时）包含一个振荡的总电荷量（振幅为q0 =λ0l/π），其大小相等但符号相反于另一半的电荷量。

      由于线圈共振，电流和电荷密度分布相互相位差p/2，这意味着当一个的实部为最大值时，另一个的实部为零。等效地，线圈中的能量在某些时间点完全由电流贡献，而在其他时间点则完全由电荷贡献。使用电磁理论，我们可以定义每个线圈的有效电感L和有效电容C如下：

      其中，空间电流J(r)和电荷密度ρ(r)分别从单独线圈上的电流和电荷分布中获得，并结合对象的几何形状。按照定义，L和C具有使线圈中的能量U满足以下关系的特性：

      给定这个关系式和连续性方程，得到的谐振频率为f0 = 1/[2π(LC)1/2]。现在我们可以通过定义a(t) = [(L/2)1/2]I0(t)将这个线圈视为耦合模理论中的标准振荡器。

      我们可以通过注意到电流分布的正弦形状来估算功率的损耗，这意味着峰值电流平方的空间平均值为|I0|1/2。对于一个由n圈组成且由导电率为σ的材料制成的线圈，我们根据情况修改电阻(Ro)和辐射抗阻(Rr)的标准公式：

     方程7中的第一项是一个磁偶极辐射项（假设r << 2πc/ω，其中c是光速）；第二项是线圈的电偶极，对于我们的实验参数来说比第一项小。因此，线圈的耦合模理论衰减常数为Γ = (Ro + Rr)/2L，其品质因数为Q=ω/2Γ。

      我们通过观察从源线圈传输到装置线圈的功率来找到耦合系数κDS，在假定电流和电荷密度随时间变化为exp(iωt)的稳态解中：

       其中，M是有效互感，ø是标量电位，A是矢量电位，下标S表示电场由源线圈产生。然后根据标准的耦合模理论论证得出κDS = κSD = κ = ωM/[2(LSLD)1/2]。当线圈中心之间的距离D远大于它们的特征尺寸时，k随着D-3的二极耦合关系特性进行缩放。k和G都是频率的函数，κ/Γ和传输效率在f的特定值处最大化，对于典型的感兴趣参数而言，这个值在1到50 MHz范围内。因此，在给定线圈尺寸的情况下选择合适的频率（正如我们在这个实验演示中所做的）对于优化功率传输扮演着重要的角色。

2 实验仿真测试

     用于验证功率传输方案的两个相同螺旋线圈的参数为h = 20 cm，a = 3 mm，r = 30 cm和n = 5.25。两个线圈都是由铜制成的。螺旋线圈的环之间间距不均匀，我们通过将10%（2cm）的不确定性归因于h来封装它们的一致性方面。给定这些尺寸，预期的谐振频率为f0 = 10.56 ± 0.3 MHz，与测量得到的9.90 MHz的共振频率相差约5％。

      线圈的理论Q值估计为~2500（假设σ=5.9×107 m/ohm），但测量得到的值为Q=950 ± 50。我们认为这种差异主要是由于铜线表面上贫导电的氧化铜层的影响，使得电流被短肤深度（~20mm）约束在表面附近。因此，我们在所有后续计算中使用实验观察到的Q和ΓS = ΓD = Γ = ω/2Q。

      我们通过将两个自谐振线圈（略微调整h，使其在孤立时具有相同的谐振频率）放置在距离D处，并测量两个谐振模式的频率差来实验性地找到耦合系数κ。根据耦合模理论，这个分裂应该是Δω = 2[(κ2 - Γ2)1/2]。在本文中， 我们将重点放在两个线圈轴向对齐的情况下，尽管其他取向也可以得到类似的结果。

      最大理论效率仅取决于参数κ/[(LSLD)1/2] = κ/Γ，即使对于D = 2.4 m（线圈半径的8倍），它也大于1。因此，在整个探测距离的范围内我们都处于强耦合状态。

      作为我们的驱动电路，我们使用一个标准的Colpitts振荡器，其电感元素由一根半径为25厘米的铜线环组成；这个线圈通过电感耦合到原线圈，并驱动整个无线输电装置。负载由一个经过校准的灯泡组成，它连接到自己的绝缘电线环上，并放置在装置线圈附近进行电感耦合。通过调节灯泡和装置线圈之间的距离，我们能够调整ΓW/Γ这个参数，使其匹配其理论上的最佳值，这个最优值由[1 + (κ2/Γ2)]1/2给出。（连接到灯泡的线环会为ΓW添加一个小的反应性分量，这可以通过略微调整线圈来进行补偿。）我们通过调节输入Colpitts振荡器的功率，直到负载中的灯泡以最大光亮度照亮，来测量从源线圈到负载之间传输的功率。我们通过在自谐振线圈的中点使用电流探头（不会明显降低线圈的Q值）来测量用于我们理论模型中的IS和ID的电流参数。然后根据PS,D=ΓL|IS,D|2计算每个线圈中消耗的功率，并从η = PW/(PS + PD + PW)得出效率。为了确保实验设置能够很好地由两个物体耦合模理论模型描述，我们放置装置线圈，使其直接与连接到Colpitts振荡器上的铜线环的耦合为零。同时给出了由方程式2预测的最大效率的理论值。使用这种装置可以传输几十瓦的功率，将60瓦的灯泡从距离超过2米的地方完全照亮。

     作为交叉检查，我们还测量了从墙上电源插座进入驱动电路的总功率。无线传输本身的效率很难以此方式估计，因为Colpitts振荡器本身的效率并不精确，尽管预计它远低于100％。但是，从墙上输送的电功率与负载提取的功率之比给出了效率的下限。例如，当将60瓦传输到距离为2米的负载时，流入驱动电路的功率为400瓦。这产生了总体的墙-负载效率为15％，这在考虑到那个距离上的无线功率传输的预期效率为40％至50％以及Colpitts振荡器的低效率时是合理的。

3 结语

      共振是实现无线能量传输的关键。我们实验发现，只要其中一个线圈失去共振，传输到负载的电力就会急剧下降。对于几倍于反向加载Q的分数失调Δf/f0，装置线圈中诱导的电流与噪声无异。

     关于外部物品对我们方案的影响的详细量化分析超出了本研究的范围，但在这里我们指出，即使人和各种日常物品，如金属、木材和大大小小的电子设备被放置在两个线圈之间，甚至在完全阻挡源和设备之间的视线的情况下，电力传输也不会受到明显影响。只有当它们离任一线圈只有几厘米时，外部物品才会产生明显影响。一些材料（如铝箔、聚苯乙烯泡沫和人）主要只是移动谐振频率，这理论上可以通过反馈电路轻松纠正；其他材料（纸板、木材和聚氯乙烯）则在靠近线圈少于几厘米时降低Q值，从而降低传输的效率。

      当在2米距离传输60W时，我们计算出在线圈中心处，电场的均方根（RMS）幅值为ERMS = 210 V/m，磁场的RMS幅值为HRMS = 1 A/m，Poynting矢量的RMS幅值为SRMS = 3.2 mW/cm^2。这些值在靠近线圈的地方会增加，因为源和设备之间的场相当。例如，在距离设备线圈表面20厘米的距离处，我们计算出电场、磁场和Poynting矢量的最大值分别为ERMS=1.4kV/m、HRMS=8A/m和SRMS = 0.2 W/cm^2。这些参数下辐射功率约为5W，大约比手机高一个数量级。在我们研究的特定几何形状中，电靠近场以及近场Poynting矢量的绝大部分（一到两个数量级）都来自线圈的电偶极矩。如果使用电容负载的单匝线圈设计——它具有将几乎所有电场限制在电容器内的优点——并调整系统以在较低频率下运行，则我们的计算显示，可以降低上述电场、磁场、Poynting矢量和辐射功率的值，使它们低于一般安全规定所规定的阈值（例如，IEEE针对公众暴露的安全标准等）。

      虽然两个线圈目前具有相同的尺寸，但可以将装置线圈缩小到足以适配便携式设备而不降低效率。例如，可以保持源线圈和装置线圈的特征尺寸乘积恒定，正如文献中所述。

      我们相信，通过镀银线圈或使用更为精细的共振物体几何形状，系统的效率和输电距离都能得到显著提高。尽管如此，该系统的性能特征已经达到了可用于实际应用的水平。