0 引言 

       过程工程通常涉及控制一个受到性能指标限制的动态系统。如果被控制的过程具有某些数学特性，理论控制法可以成功地应用。这种方法产生的控制器具有适度的计算复杂度，并且可以估算。当一个过程存在深刻的非线性或其模型不完整、不精确或不确定时，必须找到一个现实解决方案。一种可能的解决方案是使用元启发式算法（如EAs）来实现足够的控制结构。

       元启发式算法被推荐在控制工程中广泛使用，因为它们具有鲁棒性并且可以处理复杂问题。然而，付出的代价是：控制器的计算工作量可能非常大，并且涉及较长的执行时间，这必须小于采样周期。对于控制器的实现，满足这个时间约束是必要条件。因此，减少计算复杂度构成了控制应用的重要主题。

       在之前的论文中，作者使用后退视距控制(RHC)来解决最优控制问题(OCPs)。RHC是一种适当的控制结构，因为它具有多个特性，例如能够处理非线性和不确定性。此外，RHC可以处理系统状态和输入的约束，这是实际应用中的常见要求。

       RHC的一个优点是它将优化问题分解成一系列较小的子问题，可以使用标准优化技术有效地解决。与其他基于优化的控制方法相比，这种方法减少了计算复杂度。另一个好处是RHC可以通过基于系统状态的当前测量在每个采样瞬间更新控制律，从而处理时变系统。这允许随着时间对系统行为的变化进行适应，这对于实际应用非常重要。

       总之，虽然元启发式算法对于解决复杂控制问题很有用，但所需的计算工作量可能非常大。RHC提供了动态系统最优控制的更高效的替代方案，特别适用于具有非线性或不确定性的系统。

       RHC是一种闭环控制结构（附录A），使用一个过程模型（PM）。

• 控制器使用PM对预测视距内的最优控制序列进行预测。

• 控制器可以集成元启发式算法，如EA，用于计算最优预测。

      控制器在每个采样周期实时调用EA，并产生最优预测。EA的群体由个体（染色体）组成，它们是候选预测，即控制变量值的序列。因此，EA搜索控制变量空间中的最优预测。计算复杂度与搜索空间的大小相关。简而言之，搜索空间越大，计算复杂度越大。

       当EAs被用作元启发式算法时，预测序列可以使用一种减少计算复杂度的技术进行编码。在论文中，作者提出了一种使用额外状态估计器和所谓的“质量准则”来缩小控制变量空间的方法。后者是特定于每个过程的，并且通过表征所需演变的数学约束来表达。这就是为什么这种方法并不总是适用的原因。

      在本文中，我们提出了一种缩小搜索空间的方法，该方法可应用于OCPs中考虑的任何过程。显然，在实现闭环控制结构之前，控制工程师已经测试了某个版本的EA是否适合解决手头的OCP。因此，可用“最优”或准最优解决方案，它可以给出最佳已知演进的过程，优化性能指标[19]。控制输入在OCP声明的技术限制内发展为边界约束。未来闭环控制结构的“参考”可以是控制轮廓（CP），该控制轮廓生成开环解的序列的最佳控制值，并称为预定义CP。

      预定义CP将被特别感知和实施。控制器的目标不是机械地复制此CP，希望最优状态轨迹被复制。至少由于干扰，这项任务是不可行的。即使模型具有很好的准确性，过程和PM仍具有不同的行为。这就是为什么闭环控制是必需的原因：在采样时刻，控制器获取实际过程状态，该状态最终会受到干扰的影响。预定义的CP最初用于计算控制范围，在控制阶段不再重要。控制器仅在每个采样周期调整当前控制范围。

       由于主要目标是解决OCP，第2节简要回顾了OCP的典型元素，使本文可以自我包含并引入符号。第3节描述了预定义CP如何被定义和由所提出的控制器使用，以便在每个采样周期中调整控制变量的范围。还介绍了所提出的控制器的结构和实现。控制器调用预测器，在调用EA之前调整控制范围。每个控制变量将被限制为属于更窄的区间。控制范围对EA生成的初始种群甚至搜索空间具有关键影响。预测器的算法在第3.3节中给出。

       我们的工作通过模拟研究进行验证，包括针对两个基准OCP的两个案例研究。第4节设置了模拟目标，并描述了控制视距内的控制操作的一般模拟算法。

       第一个案例研究（第5节）涉及单变量过程，其目标函数仅为最终成本。第二个案例研究（第6节所示）考虑具有两个控制输入的多变量过程，其目标函数是添加到最终成本中的积分项。

      在相同的背景下，这两个OCP已经在先前的工作中进行了分析和实现：RHC和类似的EA集成到控制器中。目前的工作仍然针对另一个目标：提出使用预定义CP的新控制器，该控制器将调整控制范围。             在实施新控制器后，我们使用旧控制器和新控制器进行模拟系列，并进行比较分析。无疑的结论是，所提出的控制器显著降低了计算复杂度。

       我们的论文不是致力于控制特定过程；我们的演示强调所提出的方法的目的是降低计算复杂度。该方法可以是控制许多种类的过程的解决方案，并且受到我们工作的一般动机的限制：控制器运行时间必须小于采样周期。

       为了帮助读者全面理解并使用本文中提出的算法，我们附上了所有编写的程序作为补充材料，并在附录A-D中给出了所有必要的详细信息。

2最优控制问题-定义元素

与许多其他工作一样，在代数和常微分方程模型中，过程如下:

X(t) = [ f1(X, U, W) · · ·fn(X, U, W)]T − ordinary differential equations          (1)

gi(X, U, W) = 0, i = 1, · · · , p − algebraic equations; W : processparametersset where the variables have the usual meaning:

X(t) = [x1(t)· · · xn(t)]T − a vector with n state variables;

U(t) = [u1(t)· · · um(t)]T − a vector with m control variables.

       过程模型的示例包括第5.1节中的方程式（20）和第6.1节中的方程式（26）。

       约束以指导过程演变，与常微分方程相伴。在一般系统理论中有许多约束类型，但我们只满足于提到续集中所提出的两个案例研究中使用的约束。

      必须满足一组最小限度的约束：

控制视野: t ∈ [t0, tfinal]; t0 = 0,    (2)

其中tfinal表示控制视野的最终时刻。

初始状态:X(0) = X0 ∈ R n .      (3)

边界约束: uj(t) ∈ Ωj = [u jmin, ujmax] ; j = 1, · · · , m; 0 < t < tfinal.              (4)

       我们认为ujminujmax是控制变量uj（t）的技术限制，这些限制在OCP的说明中给出。

      如果控制系统的采样周期是T，则控制视野将具有H个采样周期，并且满足以下条件：

tfinal = H × T

      使用进化算法解决OCP问题涉及将控制视野和控制变量的值离散化。因此，我们考虑一个补充约束：在每个采样周期内，控制变量的值是恒定的。所以，每个控制变量都是阶跃函数。

      OCP（Optimal Control Problem）包括确定控制规划U(·)以优化（最大化或最小化）具有一般形式方程式（5）的特定目标函数（或成本函数）J:

      特定函数L刻画了目标函数J的积分组成部分。当控制器进行预测时，目标函数表达式[17]中存在最终成本涉及预测视野的一项特殊性质。

       当目标函数具有最终成本（Mayer项）时，无论是否存在积分项（Lagrange项），预测视野必须包括控制视野的最终时间，这是与计算复杂性相关的最困难情况。

3总结   

      本文介绍了我们之前关于使用基于进化算法的预测实现OCP（Optimal Control Problem）的工作的续集。重点放在如何减少预测生成的计算复杂度上。我们提出了所谓的预定义控制规划，这意味着沿控制视野适应控制范围。考虑到第4.1节中所述的目标，可以得出以下结论：

• 在预定义控制规划相关的新环境中，我们重新考虑了基于RHC（Receding Horizon Control）和EAs的闭环实现和仿真，以进行最优预测。必要的调整已经完成。 

• 控制规划已确定并集成到EA中，并采用控制范围适应性在每个采样周期的初始种群生成中。 

• 计算复杂度是使用元启发式方法来优化控制结构内部的一个障碍。两个案例研究的仿真分析证明了所提出的技术是有效的，而且计算复杂度减少很大（63％和43％）。