0 引言 

      移动式倒立摆是经典倒立摆系统的一种特殊情况，在古典倒立摆系统中，配备有提供水平运动的电机的四轮推车顶部有一个倒立摆。倒立摆系统对每一种试图证明其效率的控制方法都是一个巨大的挑战。在倒立摆系统的想法背后隐藏着许多应用，如飞机在湍流中的稳定、火箭发射或船上机舱的稳定。这种类型的系统被称为开环不稳定系统，并且具有高非线性。对于这种类型的系统，已经从经典PID或线性二次调节器（LQR）和模型预测控制（MPC）等先进方法中测试了几种算法。

      无模型控制（MFC）是数据驱动控制类中的一种控制策略，由Fless和Join在[3]中引入。这是一种使用工厂的输入和输出数据来控制它的算法。控制算法使用在线数据来创建超局部模型。这种类型的模型的可用性很短，相当于从系统的输入和输出收集数据后的一个时间框架。由于这种特殊性，MFC是一种永久更新在阐述控制律时考虑的模型的方法。这一方面为该方法提供了对噪声或其他扰动的高抗扰度。MFC使用智能PID（iPID）控制器的概念，由于超局部模型的概念，它是对经典PID控制器的改进。MFC算法是一种为复杂或非线性系统设计的控制方法。它被应用于汽车、农业或航空等领域。无模型控制是一种数据驱动的方法，可以与其他方法结合使用。一个例子是在中使用具有虚拟参考调谐（VRFT）的MFC，其中VRFT用于以自动方式获得MFC算法所需的调谐参数。另一个例子是在和中用作MFC-SMC的MFC和滑模控制（SMC）之间的组合。在这种情况下，由增强的控制信号引入的SMC分量用于补偿iPID设计阶段中涉及的估计误差。

      本文提出使用两个智能控制器，一个iPD控制器和一个MF-SMC，这两个控制器是基于MFC方法设计的，用于控制移动倒立摆系统的位置。控制定律的目的是在摆锤保持在平衡位置的同时将推车移动到所需位置。分析了在外部扰动出现和系统稳定状态受到扰动的情况下，控制系统对位置的不同参考轨迹的响应。iPD数字控制器是使用极点配置方法设计的，该方法通过基于Jurry测试重新调整控制器参数来增强。为了补偿iPD控制器的估计误差，添加了基于SMC的增强控制信号，从而产生了考虑增强控制信号的三个分量而设计的MF-SMC算法。为了说明所提出的两种智能MFC控制器在移动倒立摆位置控制中的有效性，最后对两种MFC方法进行了仿真比较。

       本文的结构如下：第二节介绍了移动倒立摆的建模，第三节详细介绍了用于位置控制的智能控制器的MFC策略。在第四节中，分析了两个MFC控制器之间的仿真比较结果，而第五节给出了分析结论。

1倒立摆系统

       本文认为移动式倒立摆是安装在四轮电动推车顶部的倒立摆。

       推车位置X和摆角θ由控制器测量和使用以产生脉宽调制（PWM）信号来控制电动机驱动器的供电电压，从而控制由它们产生的牵引力u。因此，力u被认为是输入信号，推车位置x和摆角θ是移动倒立摆的输出，扰动脉冲ψ添加。

       通过移动倒立摆系统的动力学定律，确定了运动方程，并在此基础上，通过添加扰动脉冲，得到了以下动力学模型：

       其中，M表示推车的质量，M是摆锤的质量，l是摆锤质心的长度，u是由电机驱动器产生并施加到推车上的力，ψ是脉冲扰动，x是推车位置坐标和θ是垂直位置的摆锤角度。

2无模型控制策略

       移动式倒立摆是一个复杂的、不稳定的、具有高度非线性的系统。它有一个由作用于推车的力表示的输入和两个输出：推车的位置x和摆锤的角度θ。

       作为系统的输入，也可以看到扰动 ψ输出处于相关关系中，这增加了控制工厂的难度。控制系统结构由两个控制回路组成。第一控制回路包括状态空间控制器，用于将摆锤稳定在其直立位置θ而第二控制回路包含MFC策略以控制推车位置x。

       稳定控制回路的角度控制器是基于状态的控制器，为了控制推车的位置，本文使用了两个MF智能控制器：一个iPD控制器和一个MF-SMC控制器。

2.1iPD控制

      超局部模型的一个特定分量是输出信号的v-th阶导数。定义超局部模型的方程为：

       其中y(t)是工厂的输出信号,u(t)是命令信号，F(t)表示工厂的所有未建模或时变组件，而α是从业者选择的一个参数，在乘以u(t)后，需要具有与y(v)相同的大小。

       对于智能PD（iPD）控制器，二阶导数就足够了。使用输出信号的二阶导数，iPD控制器的超局部模型具有以下方程：

并且iPD控制器的控制法则变为：

其中y(t)是参考信号的二阶导数，Kp和Kd是控制器的调谐参数，而控制误差是e(t)=y(t)-y(t)。

       使用离散时间方法，超局部模型方程将变为：  

       因此，iPD控制器的控制律的离散时间方程将具有以下形式：

       其中的近似值是得出的，用表示F(k)的估计由下式给出：

       将方程中的控制u代入超局部模型，得到控制回路方程：

δ(k)是被视为可以忽略的随机扰动的估计误差。

       利用从等式中获得的误差特征多项式。按照极点配置程序来调整iPD控制器的参数。为了获得更好的性能，可以根据Jury测试得出的边界区间重新调整参数。

2.2无模型-滑模控制

      通过滑模控制方法引入增广控制信号，改进了智能PID控制器的控制律。这种额外的控制对于消除由近似误差引入的影响是有用的。方程（5）中描述的iPD控制定律的方程。

       对于iPD与SMC的组合，用于定义滑动面的状态变量为：

        使用这个符号到等式中，获得状态空间系统：

滑动面定义为：

考虑σ(t)的导数：

       估计误差δ(t)被认为在一个小的已知值max处有界δmax.

       来自等式（11）的增强控制信号具有如下三个不同的分量，来自：

       驱动σ(t)的组件在滑动表面远离它的情况下，它是，并且具有方程：

       校正控制确保了滑动表面的可达性。为了减少抖振效应，采用了中的边界层方法。校正控制变为：

        其中，η是收敛因子，ε是边界层厚度。两者都是积极的，由操作者选择。

3仿真结果

       本文对用于控制移动倒立摆位置的两种MF智能控制器进行了仿真比较，分析了MFC算法的性能。控制系统的每个受控输出有两个回路。移动倒立摆模型取自MATLAB/Simulink，以及来自第一回路的二阶状态控制器，该控制器旨在通过角度控制将摆稳定在其直立位置。因此，两个无模型控制器用于闭合倒立摆的第二个回路，其目的是控制推车位置，并有可能抑制模拟时间内可能出现的扰动。作用于推车的力具有两个分量，这两个分量由来自两个控制回路的角度控制器和位置控制器的输出之和表示。

       针对所使用的MFC算法，给出了推车位置的变化。对这两个系统进行了并行比较，发现了一些相似之处。两种控制律在过冲、上升时间或稳定时间方面表现出相似的性能。iPD SMC的过冲小约2%，稳定时间好约2秒。当扰动出现时，系统输出之间会出现重要差异。

       在这种情况下，iPD控制器对扰动的抑制较慢。拒绝完成和达到目标的时刻之间的差值超过5秒，如果在该时间间隔内参考信号的值发生变化，这可能是一个问题。

       我们给出了模拟场景中摆角的变化。当推车移动时，两个控制器的不平衡度都低于2度，直到出现扰动。当需要抑制扰动时，摆锤将其角度改变约8度，然后在相反方向上进行角度补偿，其值低于2度。由施加到推车上的力表示的控制信号具有变化。它与摆锤的角度相对互补，以补偿摆锤在相反方向上的运动。除了扰动被拒绝的情况外，施加在推车上的力小于2N。此外，变化的频率不是很高，这意味着推车移动平稳。

4 结论

      本文提出了两种基于MFC算法的倒立摆位置控制方法。第一种是基于极点配置程序设计的iPD控制器，而第二种是通过引入SMC算法对iPD进行改进。在该分析中要控制的系统被认为是不稳定的并且具有高非线性。它有一个由施加到推车上的力表示的输入和两个由摆锤角度和推车位置表示的输出。两个智能控制器的控制目标是跟踪推车位置的期望参考轨迹。

       使用MATLAB/Simulink进行的仿真将iPD控制器与iPD SMC算法进行了比较。模拟场景由参考信号的变化表示，其中摆锤由于角度控制器而处于平衡状态。在模拟场景中，系统中会发生两次扰动。结果表明，所设计的两个MFC控制器能够在短时间内到达目标位置并抑制扰动。对响应的分析可以得出这样的结论：SMC算法引入的增强控制信号改善了移动倒立摆系统的控制。两种控制方法的角度都在10度以下变化，这意味着系统在仿真时间内是稳定的。