摘 要：本文提出了一种新算法在Stewart平台位置控制中的应用。传统的积分滑模控制器是标称控制和不连续反馈控制的组合，因此总体控制本质上是不连续的。反馈控制中的不连续性对于实际应用来说是不期望的，这是由于抖动导致机械致动器的磨损。本文通过用连续修正的扭转控制代替不连续部分，对具有匹配扰动的系统的现有积分滑模控制律进行了修正。由于两个连续控制的组合，所提出的控制器本质上是连续的。即使在存在匹配扰动的情况下，也使用所提出的控制器实现了平台的期望位置。仿真结果证明了该控制器的有效性。

关键词：Stewart平台；超扭转观测器；扭转算法；积分滑模控制

1 介绍

       尽管串联机器人具有所有优点，但由于其承载能力差和精度定位能力较弱，其应用受到限制。对于任何机械系统来说，高承载能力、良好的动态性能和精确定位都是人们非常感兴趣的，因此必须用并联机器人取代不具备这些财产的串联机器人。与串联机械手相比，末端执行器通过并联腿连接到基座的机器人机械手具有更好的精度、更高的刚度、更大的负载重量比和更多的负载分布。完全并联操纵器的优点源于这样一个事实，即致动器并联工作，共享共同的有效载荷。Stewart平台操纵器是一个6自由度（6-DOF）机构，两个主体通过六个可伸缩腿连接在一起，如[1,2]所述。通过改变可伸展腿的长度，Stewart平台获得了六个自由度。Stewart平台操纵器的实际应用通常是在低速和大有效载荷条件下，例如经典汽车的运动基础、飞行模拟器、机床、娱乐、手术机器人、射电望远镜、触觉设备和远程监控设备，如[3-5]在其论文中所述。然而，与串联机械手相比，Stewart平台的基本缺点是其工作空间较小，运动学和动力学建模复杂。

      有两种方案通常用于控制Stewart平台：任务空间控制和联合空间控制。关节空间控制是使用关节位置/腿长度的信息开发的。并联机械手的各个腿被视为独立系统，腿之间的耦合效应被视为扰动。在该方法中，操纵器的每个腿都作为单输入单输出（SISO）系统进行控制。独立关节空间控制广泛应用于工业应用中，其中多连杆机械手被分成具有线性动力学的多个独立连杆。如[6,7]所述，通过扰动观测器可以改善这种控制器的性能。这种关节空间控制涉及具有封闭形式的逆运动学模型。SISO控制器的实现成本低，可以很容易地并行实现，但是这种方法会导致同步误差，如[8,9]所述。另一方面，任务空间控制通过解决导致多输入多输出（MIMO）系统并具有补偿耦合误差的潜力的系统耦合来实现更好的性能。但任务空间控制器的实现涉及位置和速度的实时测量，这是复杂的，并且需要昂贵的传感器，因此限制了任务空间控制器在实时应用中的应用[10]。在Stewart平台的位置控制领域，发表了许多研究论文，其中采用了传统PID控制器、滑模控制器等[11-14]、高阶滑模控制器[5]、基于遗传算法的积分滑模控制器[15]，鲁棒非线性控制器[16]等，并且它们在联合空间或任务空间中实现。

       在不同的视角下，使用滑模理论的位置控制问题有多种控制方法。滑模控制器是一种变结构控制，已在许多机电系统中成功实施，以改善其性能并实现抗干扰的鲁棒性，如[17,18]所述。连续滑模控制器的主要优点，如对匹配不确定性的不变性、模型降阶、设计的简单性和对扰动的鲁棒性，吸引了许多研究人员对其控制问题的关注。连续滑动模式控制的特征在于，滑动模式发生在预定义的表面上，并且采用切换控制来保持该表面上的状态。滑动模式控制包括两个阶段，一个是到达阶段，在该阶段中，系统状态从任何初始状态被驱动以在有限时间内到达该切换表面，另一个是滑动阶段，在滑动阶段中，该系统被诱导到切换表面上的滑动运动。滑模控制的主要吸引人的特征，如鲁棒性和降阶，只有在出现滑动阶段后才能发挥作用。然而，在到达阶段，系统的响应不能保证系统的鲁棒性。

      为了克服传统滑模控制的这种缺点，发展了一种新的控制类型，称为积分滑模控制。积分滑动模式的概念集中于系统在整个状态空间中的鲁棒性，而不仅仅是在滑动阶段。积分滑模控制技术中运动方程的阶数等于状态空间的维数。因此，如[19]中所述，可以通过从任何初始条件开始的系统的整个响应来保证系统的鲁棒性。积分滑模控制是两种控制的组合，一种是决定系统期望性能的标称控制，另一种是拒绝干扰和模型不确定性的不连续控制。标称控制方法是传统的比例积分加微分（PID）控制、复合非线性反馈（CNF）、最优线性二次调节器（LQR）等。即使这种方法确保了系统的更好性能，但产生的控制输入本质上变得不连续。这种不连续控制致动系统的未建模动态，这导致称为抖动的不期望现象。

       滑模控制中的抖振问题是将其应用于机械系统的主要障碍。特别是在实时机械系统的情况下，不连续控制动作的引入将不会引起理想的滑动运动，而是重复地穿过和再弯曲滑动表面的状态的高频运动。这样的运动在实时系统中是非常不期望的，并且将导致系统的致动器部件上的不必要的磨损。有几种克服传统滑模控制中抖振的尝试，在开关表面周围添加边界层的方法以及在边界内使用连续控制，以及最近在[17]中提出的称为高阶滑模控制的新方法。超扭转控制和扭转控制都是二阶滑模控制算法。超扭控制适用于输出相对一阶系统，并通过一阶系统的连续控制保证状态的有限时间收敛。通过构造一个相对度为1的滑动面，超扭转控制器也可以应用于输出相对度为2的系统。在这种情况下，滑动表面s及其导数s在有限时间内收敛到零，然而，系统的状态渐近地到达原点。然而，扭转控制适用于相对二阶系统，并通过不连续控制保证状态的有限时间收敛。扭转算法的控制结构简单，并且只需要状态的符号信息，而超级扭转算法需要状态的全部信息。超扭曲控制产生连续控制，而扭曲控制产生不连续控制。

      本文首次提出了一种用于典型6自由度Stewart平台位置控制的光滑积分滑模控制方法。对于平台的给定期望位置轨迹，可以使用反向运动学来计算腿长度，并且可以使用超级扭转观测器来估计相应的腿速度。使用此信息，由[20]完成的Bhat和Bernstein控制器被设计为每条支路的标称控制。不连续控制部分被基于扭转算法的连续控制代替，因此由于两个连续控制的组合，所提出的控制器本质上是连续的。该控制器能够在有限时间内使腿长误差为零，并且还确保了对匹配干扰的鲁棒性。可以注意的是，超级扭曲控制也可以用于替代ISMC的不连续部分，该不连续部分产生连续控制。事实上，最近提出了一种基于超扭转控制的ISMC方法，用于控制机械系统，该方法发表在[26]中。超级扭曲控制也可用于替代ISMC的不连续部分，该部分产生连续控制。该方法已被提出用于机械系统的控制，最近发表在[27]中。

       本文的组织结构如下。第2节介绍了Stewart平台的运动学和动力学背景。在第3节中，对超扭曲观察者进行了简要回顾。第4节讨论了积分滑模控制的原理和设计。第5节讨论了模拟结果，第6节给出了结论。

2 Stewart平台的运动学和动力学 

2.1Stewart平台的运动学

Stewart平台操纵器从Stewart最初提出的方案中进行了各种通用化修改，该结构包括一个固定基座和一个由六个可伸缩腿连接的可移动平台。可伸缩腿通过球形接头或万向接头连接在底座上，并通过万向接头连接到平台上。6自由度运动包括线性运动和角运动。线性运动包括纵向（涌浪）、横向（摇摆）和垂直（垂荡）运动，而角运动表示为相对于x、y和z轴的欧几里德角旋转，即分别为横摇、俯仰和偏航。这六个自由度的运动是通过改变腿的长度获得的。参考框架Fb和Fp分别连接到基座和平台。让D=[PxPyPz]T是平台原点Op相对于基座原点Ob的位置。框架Fp中球形关节中心的位置向量为Pi，可表示为

其中Rp是上部平台的半径，p=π/2且Piz由平台中心相对于基架的标称位置决定。类似地，描述基本附着点相对于框架Fb的位置的矢量Bi可以表示为

其中Rb是基板的半径，。θb=π/3。包括三轴线性平移和三轴旋转的六度运动状态表示为

           X=[PxPyPzαβγ]t

其中，Px、Py和Pz分别表示涌浪、摇摆和起伏运动，α,β和γ表示平台相对于固定框架三个轴的横摇、俯仰和偏航运动。每个第i个支腿分别连接平台的连接点Pi和底板的连接点Bi，如图1所示。通常，并联机械手的逆运动学具有唯一的解。这里，对于平台的给定位置和方向，相应的腿长度可以通过逆运动学公式唯一地确定。然后，从附着点Bi指向附着点Pi的腿矢量可以表示如下：

2.2动态建模

Stewart平台机械手的动力学建模已被许多研究人员研究。使用的方法有拉格朗日法、牛顿-欧拉法和[21]中提到的虚功原理。使用拉格朗日方法，一般动力学方程由[7]

其中X=[PxPyPzαβγ]t是平台的任务空间位置和方向，M(X)是惯性矩阵，C(x)是科里奥利和离心力矩阵，G(X)是重力矩阵，J(X)是雅可比矩阵，u是致动器输出的扭矩矢量。在上述动力学模型中，忽略了致动器动力学和摩擦。由于惯性负载、未建模的动力学和致动器的摩擦，系统将具有不确定性。假设不确定性有界，每个项可以表示为如下偏差：

M=Mn+ΔM,C=Cn+ΔC,G=Gn+ΔG,假设扰动ΔM、ΔC和ΔG具有以下边界：

使用（7）和（8），方程（6）可以用状态空间形式写成

3非线性模型的超扭转观测器设计

      为了有效地利用并联机器人的结构优势，必须设计一种鲁棒且高性能的控制器。在关节空间方法中，将所需的位置轨迹转换为所需的腿长度，并使用测量的长度作为反馈来闭合回路。此外，单独的腿测量值和期望值是单独的，并且设计为SISO的控制器和该单独的SISO控制器可以并行实现，从而产生更快的响应。根据Stewart平台在关节空间中的动力学方程，六个腿长度可用作输出变量。但为了设计任何控制器，腿速度也需要作为控制变量。在这项工作中，使用了一个超级扭曲观察者来获得腿的速度，知道腿的长度。大多数控制器需要所有状态变量来实现控制策略。然而，许多时间完整状态向量可能无法用于测量。

       使用一种状态信息，尽管存在[22]的匹配干扰，但可以使用超扭曲观测器在有限时间内估计另一种状态。为了避免测量腿长的导数，即腿速度，需要微分器或观测器。受欢迎的高增益观测器无法在这里完成这项工作，因为估计状态中的误差仅渐近地变为零。微分器的使用将导致噪声的放大，从而对控制器的性能产生不利影响。速度传感器的高成本限制了其用于测量速度的应用。因此，在本文中，使用了一个超扭转观测者来根据已知的腿长度估计腿速度[23]。考虑任何二阶系统的状态空间表示为

那么，超扭曲观察器的形式为

其中X1和X2是状态估计，校正变量z1和z2是输出注入，如[24]所示。

即使在存在匹配扰动的情况下，该算法也可以成功地用于获得可用状态的导数。

       现在根据（17）中给出的Stewart平台的一般动力学方程，其中X1=[q1q2q3q4q5q6]t是六条腿长度x2=[q7q8q9q10q11q12]t和是相应的支腿速度，则控制单支腿的状态方程可以表示为

可以为上述系统设计一个超级扭转观察器，以在知道腿长的情况下估计腿的速度。该方法可应用于所有六条腿，即使在存在干扰的情况下，也能成功地获得相应的腿速度。

4整体滑动模式控制

积分滑模控制是两种控制的组合，一种是负责实现系统期望性能的标称控制，另一种是拒绝干扰和模型不确定性的不连续控制。因此，控制输入的形式为u=Unominal+Udiscon。现在考虑一个二阶系统

其中x=[x1x2]t是状态向量，u=Unominal+Udiscon是控制输入，d是匹配扰动，Udiscon被选择为其中滑动面定义为其中x20是状态变量x2的初始值。系统轨迹总是从滑动表面开始，因为状态的初始值包含在表面中。当系统在滑动表面上时，通过将滑动表面的导数等于零来计算等效控制。

因此，当系统处于滑动模式时，干扰被不连续控制抵消。但应用于对象的原始控制u也包含不连续控制，这将导致抖振现象。对于积分滑模控制的实际实现来说，抖振是非常不理想的。为了克服这一问题，提高滑模控制器的实用性，本文介绍了一种基于扭转的改进型积分滑模控制器。

5仿真结果

      使用几何规格的6–6 Stewart平台进行模拟，以验证所提出的平滑积分控制的可行性。用于测试控制器性能的轨迹是一个快速轨迹，具有升沉运动、X–Y平面内的圆周运动和角度扭曲，如[25]所示，

      对于研究中的典型Stewart平台，可用输出为腿长。在本文中，使用了一个超扭转观测器来估计腿的速度，知道腿的长度。调整观测器增益，使估计误差收敛为零。现在，使用腿长度和腿速度的信息，必须分别为每条腿设计鲁棒的平滑积分控制器。为每个腿系统设计和调整标称控制，以使腿长度误差在有限时间内为零。该控制不能完全拒绝干扰，因此需要设计积分滑模控制的不连续部分以确保鲁棒性。但在本文中，不连续的控制部分被基于扭曲的控制代替。这种控制本质上是连续的，并且也能够拒绝干扰。

通过输入通道施加     的可变扰动作为匹配扰动，平台加载质量为200kg。对平台加载、平台加载和扰动进行了仿真研究。将所提出的控制器的性能与标称控制器进行了比较。使用所提出的控制器，完全消除了干扰，并且腿长误差快速收敛到零。此外，该方法可以成功地用于估计系统的扰动。

       即使存在变化的干扰，六种长度的腿长误差也很快收敛为零，这证明了与标称平滑控制相比，所提出的控制器的能力。显示了在不同条件下，实现各支腿所需轨迹所需的控制力。可以推断，在负载和干扰同时施加时，具有ISMC的各支腿需要的控制力会发生变化。由于控制输入是连续的，因此避免了危险的抖振。应用和估计干扰的演变，显示了所提出方法的干扰估计能力。显示了使用具有不连续控制的正常ISMC和具有施加干扰的所提出的控制器时腿长误差的变化。显示了使用具有不连续控制的正常ISMC的演变控制力，这揭示了当不连续控制与积分控制一起使用时控制力的抖振特性。整个系统可以达到相同的性能，但由于Stewart平台的对称性，本文中显示了单腿的情况。

6结论

      本文提出了用于Stewart平台位置控制的光滑积分滑模控制器。对于具有匹配扰动的任何系统，现有的积分滑模控制律通过用基于扭转算法的控制代替不连续部分来修改，并且标称控制是连续控制。由于两个连续控制的组合，所提出的控制本质上是连续的。从可用的输出腿长度数据中，使用有限时间内的超扭转观测器估计腿速度。与标称控制器相比，即使在存在匹配扰动的情况下，也可以使用平滑积分控制器快速地达到平台的期望位置。仿真结果证明了该控制器的性能。