1 介绍

在过去的三十年里，许多研究者对机械臂的工作空间进行了研究。目前，研究热点主要集中在并联机器人的工作空间问题上。研究了六自由度Stewart-Gough并联机构的可达工作空间。

可达工作空间可用离散化方法确定。如果一个点可以被平台的至少一个方向接近，则该点在工作空间中。然而，只有一个方向可以到达许多边界点。要找到这些边界点的确切方向是一项非常耗时的任务。几何方法是确定工作空间精确边界的更可靠的方法。Haug等人开发了映射机械手工作空间边界的算法。2对于六自由度Stewart平台，通过求解由运动学约束(与执行机构的有限行程有关)和矩阵的行秩缺陷建立的20个方程(21个变量)，得到z级切割平面上的奇异曲线。然后进行屏障分析以确定工作空间的边界。

四个约束方程的所有可能集合的可容许解(不违反任何运动约束的实解)产生许多二维奇异曲面。这些奇异曲面的交点是许多称为分岔曲线的一维曲线。分岔曲线将奇异曲面划分为许多二维小块。工作空间的边界是由平台上的参考点无法穿透的一些最外的外部补丁组成的。本文给出了生成边界各块的方程的确定规则。然后提出了基于这些规则的算法来确定工作空间边界。

2 约束方程

一个空间6-DOF, 6SPS并联机械手，两个坐标系A (X, Y, Z)和B (u, v, w)分别附着在固定底座和移动平台上。i = 1 ~ 6的附着点Ai在固定底座上，i = 1 ~ 6的附着点Bi在平台上。展开边界面的约束方程可以在文献中找到。4一般来说，方程可以表示为fi(x, y, z， α， β， γ) = qi(1)，其中x, y, z， α， β， γ表示平台位置和方向的六个参数，qi表示分支长度ρi，分支i所对应的直线与球面关节对称轴之间的夹角φi，或分支i与j之间的距离dij。设Qi、Qj分别为肢i、肢j的公垂线与两肢的交点。如果所有六个分支都由直径为D的圆柱体近似，则当Qi在分支i上，Qj在分支j上，且dij≤D时，分支i和j就会发生干涉。将Qi在有限位置的方程作为开发边界补丁的约束方程。我们假设从Eq.(1)得到的四个约束和机械臂可能的运动奇异点的组合不会产生边界补丁。理论上，这些组合可以为一些非常特殊的设计生成边界补丁。在这种情况下，运动奇点的影响是不能忽视的。

在本文中，工作空间的边界由边界面与通过参照系z轴的垂直平面的连续相交曲线来表示。一个垂直平面(用ZX+表示)是由正x’轴和z’轴坐标系A’的-轴(X’,Y ’,Z’)，由绕固定框架Z轴的旋转矩阵得到。其中Pi在i = 1 ~ o (n−1)时表示分岔点。对于大多数对称操纵器，Po和Pn分别为ρj m a x = ρj和ρj m in = ρj (j = 1 ~ 6)的极值点。Po点和Pm点(x方向最大到达点)之间的段和Pm点和Pn点之间的段分别称为上边界曲线和下边界曲线。这些曲线上的段(由四个约束方程的不同集合生成)通过分岔点或极值点连接起来。现有方法得到的边界上的任何一点都可以作为展开边界的起始点。从初始点开始，令y = 0 x = x + Δx(与A’作为参照系)，求解四个相应的约束方程，计算下一个边界点。用z、α、β、γ的电流值作为初始值，可以很容易地求得z、α、β、γ的解。如果解在一些孤立的奇点处不收敛，那么我们改变?x来避免奇点。重复这个过程，直到路径到达一个分叉点或极值点。在分叉点或极值点处，约束方程有多种可能的组合来生成下一个线段，因此我们需要一种有效的方法来确定在边界曲线上生成下一个线段的正确组合。

取方程(1)的时间导数，我们有∇fi·T =˙qi (2)， T =[˙α˙β˙γ˙x˙y˙z] T，其中˙qi = 0 i f ρi m a x = qi， ρi m in = qi， φi m a x = φi, o r D = dij。假设有m个约束方程(m≤6)达到其对应的极限位置，且它们的梯度是独立的。然后，我们可以建立一个6×6矩阵M，其中M个梯度作为前M行，其余(6-m)行可以是其他约束方程的梯度或任何常数向量，使得M不是奇异的。令H = M−1≡[e1 e2··e6 h1 h2··h6 ](3)如果m = 4，则H的最后两列与四个约束方程的梯度正交。因此，这两列张成了T的所有可能向量的集合，向量h5和h6张成了与四个约束方程生成的奇异曲面相切的平面。在下面，向量h1, h2，…， h6(变换到坐标系A’后)用于在分岔点或极值点找到生成下一段的方程的正确组合。

3分岔点和极值点

五个约束方程在一个分岔点处到达有限位置，因此我们必须放松一个运动约束，以便在边界曲线上生成下一个段。注意，当我们放松第k个运动学约束时，平台上的参考点只允许向一个方向移动，正hk或负hk。因此，我们必须在ρkmax = ρk或φkmax = φk处改变hk的方向(即让hk = - hk)，因为˙ρk或˙φk在有限位置不可能是正的。假设第i个运动约束从受限位置解除。然后向量±h6和hi跨成半平面。如果以HPi6表示的半平面与ZX+平面相交，则剩下的四个约束方程可以在ZX+平面上生成一条以HPi6与ZX+平面相交线为切向量的一维奇异曲线。曲线在ZX+平面上的切矢量为ti6 =⎡⎤(4)中的单位矢量ei满足ei·h6 = 0和ei·hi >。当ε (x) < 0时，奇异曲线向正方向(偏离z轴)生成;当ε (x) < 0时，奇异曲线向反方向生成。向量后面括号中的x、y或z分别表示向量的x、y或z分量。寻找约束约束以生成下一个边界段的步骤如下:

1. 计算hi为i = 1,2，…6 . 

2. 对j = 1到5展开单位向量ej

3.(a)对于正向运动，选择hj, ej(x) > 0，计算tj6。求上边界段斜率最大的一对hj和h6，定义为tj6(z)/tj6(x)，或求下边界段斜率最小的一对hj和h6。(b)对于向后运动，选择hj，且ej(x) < 0，计算tj6。找出下界段斜率最大的对或上界段斜率最小的对。

除最大到达点外，其余四个方程(不包括第j个方程)将生成下一个边界段。

分岔曲线相交于一些孤立的极值点，其中六个约束方程处于它们的极限位置。在一个极值点，所有6行M都是由约束方程的梯度生成的。因此，为了在ZX+平面上生成曲线，我们必须放松两个运动学约束，这意味着有15种可能的组合可供选择。假设第i和第j个运动约束从有限位置被释放。然后，两个对应的(单向)向量hi和hj张成一个四分之一平面(用QPij表示)。如果四分之一平面与ZX+平面相交，则剩下的四个约束方程可能在ZX+平面上生成一条以QPij与ZX+的交点线为切向量的一维奇异曲线。当hi (y)∗hj (y)≤0时，两个平面相交。令φ hk≡φ hk/ φ hk。然后，曲线向前或向后移动的方向可以由两个x分量的和来确定:hj(x)和hj(x)。在极值点处生成下一段的方程的确定步骤如下:

1. 展开矩阵H，计算k = 1,2，…时的矩阵hk。6 .

2. 求出所有可能的满足向前运动的φ hi(y)∗φ hj(y)≤0和φ hi(x) + φ hj(x) >0 0(或φ hi(x) + φ hj(x) < 0)的φ hi和φ hj对。

3.如果在步骤2中得到两对或两对以上的- hi和- hj，则在上边界段上寻找向前运动(或在下边界段上寻找向后运动)斜率最大的对，或在上边界段上寻找向后运动(或在下边界段上寻找向前运动)斜率最小的对。

将第i和第j个方程从6个方程中移除后，剩下的4个方程将生成下一个段。